아까 지나가던 행인 쓰신 분 그대로 다 써드림

시작은 몬티홀이지만 밑에 말씀하셨던 "지나가던 행인"도 언급할테니

다 읽어보세요

몬티홀 딜레마 문제에서 선택을 하는 사람과 사회자가 있습니다.

문제에 참가하여 선택을 하는 사람을 "선택자", 답을 미리 알고 있는 사람를 "사회자",

이 문제를 구경하고 있지만 사회자와 선택자에게 어떠한 영향도 줄 수 없는 사람을 "방청객"이라고 하고 이야기를 진행하겠습니다.

1. 먼저 선택자는 세 문 중 하나를 고르고,

2. 사회자는 선택자가 선택하지 않은 나머지 두개의 문 중에 하나를 열어 보여줍니다.

 그리고 사회자가 열어 보여준 문은 꽝입니다.

이때, 선택자는 최초의 선택을 고수하는 게 좋을까요? 바꾸는 게 좋을까요?

이 것이 몬티홀 딜레마 문제이고, 답은 "바꾸는 게 확률이 2배 더 높다" 입니다.

가장 간단한 이해 방법은 2개의 주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 합의 확률을 구하는 것처럼 모든 경우를 도식화 해보는 방법입니다. 그러나 이 방법은 깊은 이해를 얻기는 조금 힘듭니다.

여기서는 그 이유를 위의 2단개 과정을 통해 순서대로 설명드리겠습니다.

 

1. 먼저 선택자는 세 문 중 하나를 고르고,

이 과정 선택자가 올바른 문 중 하나를 택할 확률은 분명 1/3입니다.

만약 방청객이 마음속으로 세 문 중 하나를 고른다 해도 답일 확률은 1/3이지요.

 

2. 사회자는 선택자가 선택하지 않은 나머지 두개의 문 중에 하나를 열어 꽝 임을 보여줍니다.

이 때 사회자는 "선택자가 고른 문을 알고" 있습니다.

즉, 사회자가 꽝인 문이라고 열어 보여주는 것이 선택자가 고른 문일 확률은 0이 됩니다.

만약 사회자가 선택자가 고른 문을 모른다면 답은 달라집니다.

그 때는 1/3의 확률로 선택자가 고른 문을 열어 버릴 수도 있게 되는 거지요.

 

이 과정에서 생기는 사회자와 선택자 사이의 상호 영향 때문에,

방청객이 몬티홀 딜레마 문제의 선택자처럼 최초의 선택을 바꿔도 확률은 높아지지 않습니다.

사회자 모르게 마음속으로 문을 하나 정해놓고, 사회자가 특정 문을 꽝이라고 보여 줬을 때, 선택자는 사회자가 자신이 선택한 문을 배제하고 꽝인 문을 보여준 거라 확신할 수 있지만,

방청객은 사회자가 열어 보여줄 꽝인 문에 자신이 고른 문이 포함 될 수 있다는 점을 인식해야합니다.

 

3. 추가적으로...

마지막으로 사회자는 나머지 두개 중 "꽝인 문이 무엇인지도 알고" 있습니다. 우연히 꽝을 맞춘 게 아니라 꽝이 무엇인지 알고 꽝을 골라 열어 보여준 것입니다.

 

만약 지나가던 행인이 선택자가 문을 고르고 난 직후에,

갑자기 행사장에 난입해서, 나머지 두 문 중 하나를 아무거나 열어 보여줬다면,

그 문은 꽝일 수도 있고, 꽝이 아닐 수도 있지요. 즉, 항상 꽝인 문을 열어 보여 줄 수 없다는 게 문제가 됩니다.(그러나 우연히라도 꽝인 문이 열렸다면 어쨋든 바꾸는게 2배 확률이 높아 집니다. 물론 이때도 난입한 행인이 선택자가 택한 문이 무엇인지 알고 그것을 배제한 채 선택해야 한다는 전제가 필요합니다.)

 

즉, 2번째 단계에서 사회자가 선택자가 고른 문을 제외한 문 중에서 하나를 열어 보여준다는 점과 그 문이 무조건 꽝이라는 점 2가지 때문에 문을 바꿨을 때, 2배 확률이 높아지는 겁니다.

이것은 너무 당연하지요.

지나가던 행인 문제처럼, 3개의 선택가능성 중에 하나를 고르는 것과 3개의 선택 가능성 중 2개를 고르는 것을 생각해보세요. 선택을 고수하는 것은 1/3의 확률로 맞을테고, 바꾸는 것은 2/3의 확률로 맞겠지요. 바꾸는 건 2개를 고르는 것과 같은 거니까요.

문제는 남은 선택가능성이 2개인데, 왜 1/2로 동일하게 바뀌지 않느냐입니다.

그리고 그 이유는 위에서 설명드린 사회자와 선택자 사이의 상호 관계 때문입니다.

이 상호관계가 없다면, 즉 방청객의 경우엔 바꾸나 바꾸지 않으나 1/2이 됩니다.

 

 

이때, 제가 한 말을 주의 깊게 따라왔다면, 한가지 의문이 들 수도 있습니다.

먼저 지금까지 말한 것을 정리해보면,

1. 사회자는 선택자가 고른 문을 알고 있다.

2. 사회자가 꽝인 문을 알고 있다.

이 두 가지 전제가 없이는 바꾸나 바꾸지 않으나 확률은 동일하게 1/2이 됩니다.

 

그런데 3번 추가적 설명 항목에서,

지나가는 행인이 우연히 연 문이 꽝이어도 최초의 선택을 바꾸는게 확률을 2배 높인다고 했습니다.

그러나 그때도 지나가는 행인이 선택자가 고른 문을 알고 그 문을 제외한 문 중에 하나를 열어야한다는 가정은 유효합니다.

 

그렇다면

1. 사회자는 선택자가 고른 문을 알고 있다.

2. 사회자가 꽝인 문을 알고 있다.

에서 1번은 항상 절대적이지만, 2번은 필요 없는 조건이 아닌가 생각 될 수도 있습니다.

그러나 두 조건 모두 필수적입니다.

 

이 차이는 그 사건이 발생된 후에 우리가 그 여부를 알 수 있느냐의 차이에서 비롯됩니다.

즉, 1번 전제의 경우 사회자가 선택자가 고른 문이 무엇인지 모르고 아무거나 열었는데 우연히 선택자의 문이 배제 될 수가 있지만,

2번 전제의 경우엔 사회자가 연 문을 보고 꽝인지 아닌지 바로 알게 되는 겁니다.

 

즉, 2번 전제는 일단 그 사건이 벌어지기만 하면, 그 여부를 알 수 있지만, 1번 전제는 사건이 벌어진 후에도 그 여부를 알 수 없습니다.

 

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문제 내신분의 전제는 2가지

1. 한가지 문을 반드시 선택했고

2. 지나가던 사람이 알든 모르든 어쨋든 염소문을 열었으므로

바꾸는게 더 좋습니다.

아고 힘들어

PS. 지나가던 사람이 염소문을 연걸 지만알고

참가자가 모른다면 그냥 찍은거 밀고나가든 바꾸든 확률은 같음 ㅡㅡ 근데 이건 다알잖음?

그럼 링크 고대로 복붙해드릴게여

컵을 1개와 99개로 나누는건 똑같습니다. 그리고 나서 달라지는데, 공이 어딨는지 전혀 모르는 사람이 99개 그룹 중에서 임의로 98개를 열어본 겁니다. 그리고 그 중에 공이 하나도 없었던 거죠.

이건 앞의 문제와 전혀 다릅니다. 열어본 98개 중에서 공이 나올 확률은 98% 입니다. 그런데, 2%의 확률로 그 중에 하나도 안나온 거죠. 나머지 2%는? 다른 그룹의 1개와, 처음 99개 그룹의 나머지 컵이 그대로 갖고 있죠. 이 상황에서 처음에 컵을 1개와 99개로 나누는 행위는 확률에 전혀 영향을 미치지 못합니다.

따라서 이 경우는 확률이 같은 거죠.

정리해서, 가능한 경우가 3개인 경우에 요약해서 말하자면, 몬티홀의 경우 사회자가 열어준 것이 빈 문이라는게 "보장" 됩니다. 그러나 경찰대 문제의 경우 세 용의자 중에 처음 한 사람을 조사했을 때 그 사람이 1/3의 확률로 범인일 가능성이 있었던 건데, 그 사건이 안 일어났을 뿐인 거죠.

이와 같이 두 문제는 전혀 다릅니다.

안읽어보신듯...
분명히 적어놨는데 ㅡㅡ...
복붙한걸보니 아까 그 글에 있던 글 그대로 쓰신거같은데,
만약 과학수사가 진행되고 한명 몰빵해서 조사를 시작한 상태라면
그 사람이 범인일 확률은 변하지 않습니다. 1/3이죠
포풍님이 고대로 복붙해주신 "그 사건" 이 안일어 난 것 뿐이죠
하지만 과학수사로 인해 한명을 조사했더니 오잉? 범인이 아니네요?
그리고 경찰들은 이 사실을 알게 되구요. 그럼 이 상태에서 몬티홀 문제와 같아집니다.
ㅡㅡ 어휴..

문제의 의도는 바꾸는게 확률상 이득인가 안 이득인가 입니다.
처음에 골랐던 사람(문)이 범인이 아니라는 확률이 100%인것도 아니죠
하지만 이미 한 명이 범인(차)이 아니라는게 밝혀진 이상 확률상
과학수사도 몰빵한 한명도 아닌 나머지 한명이 범인일 확률이 높습니다.

컵을 1개와 99개로 나누는건 똑같습니다. 그리고 나서 달라지는데, 공이 어딨는지 전혀 모르는 사람이 99개 그룹 중에서 임의로 98개를 열어본 겁니다. 그리고 그 중에 공이 하나도 없었던 거죠.
-> '하지만 과학수사로 인해 한명을 조사했더니 오잉? 범인이 아니네요?'

정리해서, 가능한 경우가 3개인 경우에 요약해서 말하자면, 몬티홀의 경우 사회자가 열어준 것이 빈 문이라는게 "보장" 됩니다. 그러나 경찰대 문제의 경우 세 용의자 중에 처음 한 사람을 조사했을 때 그 사람이 1/3의 확률로 범인일 가능성이 있었던 건데, 그 사건이 안 일어났을 뿐인 거죠.

그리고 저 읽어봤어요.. 그리고 ㅡㅡ 좀 그만써주세요