수학관련 학과에 있는 사람이 말하는 수학공부론...(짧게)

나름 이 학과에서 대학4년 대학원3년차고 학원가도 들러볼만큼 들러봤고

수리영역 만점자, 일반고 출신중에 PKS중 한 대학 수학경시대회 동상 수상자라서

고등학교때 수학공부를 어떻게 했는지에 대해 말을 조금 할 수 있을 것 같아서...해보려합니다.

제가 과외하는 학생들 상대로도 이 얘기는 꼭 하는 편입니다...

일단 교과서를 펼쳐서 보세요.

공식이 어쩌고저쩌고...나와있고 그 아래에 예제 나와있고 문제 몇개 풀어보라고 나와있죠?

수업시간에 전부 다 나갈 형편은 안되고(그래도 설명해주시는 선생님들은 한번은 공식 유도과정 쭉 해주시긴하죠. 이건 case by case), 대부분 예제한번풀고 시간조금주면서 아래문제 풀게 시키죠.

그리고 다시 혼자 공부할 시간에 같은과정을 반복하는경우가 많은데...

식 유도과정을 보세요. 매우 매우 주목해서 보세요.

한줄 한줄 암기하는것이 아니라 '이렇게 해서 유도가 되는구나'라는 논리적인 흐름을 찾아야 합니다.

(물론 이게 혼자 갑자기 앉아서 하려면 쉬운것은 아닙니다;전 과외할때 학생한테 항상 이거부터 가르쳐요. 제일 중요하다고 생각하는것이라서요.)

그시간에 문제하나라도 더 풀지 왜?라고 생각하면서 하나도 안 중요하다고 볼 수도 있지만

수능문제 이상 레벨에서는 예제에서 나온 것처럼 그냥 뭐 하나 적용해서는 풀 수 없는 것이 대부분입니다.

1-2-3 과정을 거쳐서 가는 문제를 1관련문제만 주구장창 하고, 또 2관련문제만 주구장창 하고, 또 3관련문제만 주구장창 해서 몇개월 지난후에 1-2-3 단계를 다 거쳐서 푸는건 굉장히 어려울거예요.

이 과정을 그냥 자연스럽게 하려면 논리적으로 이해를 하려고 노력해야해요. 1이라는 것이 어떻게 나온건지 확실히 이해하고 다음과정을 생각하는 식으로...

혹시 궁금한것 있으면 댓글 달아주시든가 하세요. 저 논문쓰느라고 아마 잠은 다 잔것같음;;ㅋㅋㅋㅋ

아 그리고 아무것도 안 본 상태로 식을 유도할 수 있을 정도가 되면
(시시콜콜한 용어까지 정확할 필요는 없고, 논리적으로 결함이 없을정도로)
성공적이고,
거기다 다른 풀이를 생각할 수 있다면 더 좋겠죠. 이건 선택사항.

어뜨케야 정신차리고 공부를 시작할수가 있나요??

제가 수학과인데요 사실 논리적이라고 할 것 까지 없는데요. 사실 극한의 정의도 배우지 않잖아요

나중에 몇가지좀 물어봐도되나요 .

문제 많이 풀게 하고 정의와 정리를 통으로 암기하고 귀류법에 대해 잘 설명해주면 되요.

수학과가 아니라서 물어볼게 없네요 ㅠㅠ

아 제가 수학과외를 하는데 아이가 성적이 도저히 안오름 ㅠㅠ 방법이 없나요

eOsBin//제 경험상 지치도록 한 3일동안 게임만 계속하면 '공부나해볼까?'라는 생각이 들더군요. 물론 사람따라 기간은 다르겠지요ㅋㅋ

근대 전 수학 공부를 할수록 암기가 되는대 왜 이해 했다고 생각 하는대 암기가 될까요 .. 공식도 몇번 보면 암기가됨 유도식도 다 암기됨 그러나 내자신스스로 이해했다라기보다 암기 됐다고 느껴지고 ..( 외울려고한건 아니고 ) 그래서 응용 문제도 이래저래못풀고 .. 문제도 뭐랄까 한번 틀렸떤문제 ?랄까 다시 풀어보면 이런 저런 과정이 아니라 풀이 과정이 생각 나서 못풀고 신 유형 문제는 틀리고..

교육예능프로그램 같은걸 보면 간혹 '어려운문제를 집중해서 푼다','쉬운문제를 여러개 푼다'라는 상반된 공부방법이 있는데 어느쪽이 효율적인가요?

문제 유형 다 파악하시면 되는데. 보면 다 그게 그 문제

boman//극한의 정의는 고등학교때 안배우고 통상 수학과에서는 2학년때 해석학이라는 과목으로 배우죠ㅋㅋ고등학교땐 그 정의 보면 일단 식겁하고 책을 내려놓을 학생이 95%정도라고 확신하기 때문에-_-그냥 감을 어느정도 잡는 선에서 하는거죠. 고등학교때야 나름 이쪽으로 접근한다...는 식의 생각을 먼저 갖는것도 좋다고 봅니다.

비트바이트//네 나중에 물어보세요. 그런데 어떤식으로 연락을해야할런지...

논리적인 것은 아니죠. 직관에 호소하는 것이 대부분.

제가 수학과라 그런 거 안 말하셔도 앎;

비트바이트//한 3달후에 문제를 보고서 아무렇지도않게 증명이 되면(위에서도 말했지만 시시콜콜한 한마디한마디보단 논리적흐름 맞게) 그게 이해한거고
꿀먹은 벙어리가 되면 그게 암기한겁니다. 일단 어느쪽인지 분명하게 보셔야할듯

미로라이트//처음 진입할때는 쉬운문제를 여러번 푸는것이 도움이 더 되고
한 번 전과정을 학습한 이후부터는 어려운문제를 위주로 보는것이 더 효율적이라고 생각합니다.

gpss/암기 쪽입니다 분명 문제보면 아 이거 푼거같은대 하면서 뭐랄까 .. 기억이 조금씩 떠올름.. 논리적으로 푸는거라기보다 . ( 기억력은 좋은편임. 머리는 나쁜대 이상하게.. )
문제 풀이 과정이 3달전이면 모두다 기억나진 않지만 어느정도 기억 하고 아 아 . 하면서 그 다음 논리를 생각 해야되는대 기억을 더듬고 ..

학교다닐때부터 다른 공부안하고 오로지 수학 공부만 했어도 내신도 항상 잘안나오고 .. 그단원 문제 가령 2학기 중간 범위라면 2학기 시작 하자마자 정석 책 교과서 문제 거의다 외우다시피 풀고 인터넷강의듣고해도 . 내신 보면 형편없고 . ( 걍 문제와풀이를 외운느낌.. )
정석이 1번 부터 10번까지있고 심화가 있으면 1에서 5번 예제 유제는 혼자 앞에 공식이나 약간의 고민을 통해서 풀지만 6번에서 10번은 해답지없이 풀기힘듬 . .심화는 손도못대고 . . ( 공식은 당연 다 외우고 유도과정도 외우고 이해도 중요하지만 몇번 보다보면 저절로 외워져서 이게 내가 이해한것인가 외운것인가 .. 란 생각이들고 . 외운거같습니다만.. )
군대에서도 홀로 남아 서 수학 연등 하고 해도 . 진도도 남들 보다 훨씬 뒤떨어지고. . 그래서 전
방황 하고있어요 .

boman//고등학교때 논리적으로 이해한다고 해봤자, 대학교때 보면 대부분 직관에 지나지않는것이죠.(증명문제에서 그렇게 풀면 0점이나오는ㅋㅋ)그렇다해도 교과서에 있는 증명이나 논리적흐름은 지금봐도 매우 괜찮은 편입니다. 극한의 정의 등 어려운 내용은 패스한다고 미리 써두니까 그런것만 적당히 느낌을 갖는 선에서 끝내면 될것같고요...

극한도 마찬가지고 통계도 마찬가지고 확률도 마찬가지로 그냥 정리나 배우는 것이죠 직관에 호소해서.. 문제푸는 방향성 같은 것을 익히는데는 괜찮죠. 책에 나와 있는 증명 대부분이 모순을 이끌어내는 증명도 허덕허덕해서 직접증명만 이용하는 것을 보면 논리라고 보기엔 좀 그렇죠; 문제와 증명 자체를 통으로 이해 및 암기시키는게 수능 점수 획득에 낫지 않나 싶네요

비트바이트 // 저는 그냥 정석만 계속 돌리고 시중 문제집을 다 풀었습니다. 처음 풀었을 때 모르는 것도 그냥 몇 번 돌리다 보니 풀리는 문제도 있고. 그냥 안되면 계속 돌려요

비트바이트//해답지 보면서 무슨생각을 하셨나요??
해답지봐도 이해가 안되는 수준의 심화문제는 제외하고 일단 지금 예시 든 것에서 6~10번 문제 해답을 볼때 거기에 대해서도 해답지에서 어떤 식이 사용되었고, 어떤 흐름으로 넘어갔는지 이해해보세요. 일단 암기에 의존해서라도 한번 쓱 풀이과정 써 보시고...
그리고 문제풀때는 직관력도 어느정도 있어야 합니다. 예를들어 책에서는 2차함수가 항상 양의 함수값을 갖기 위한 조건을 물어볼 때, 그냥 a>0, D<0이런식으로 쓰는데 대체 왜 이런게 성립해야 하나?라는 고민을 해 볼 필요가 있어요.

그걸 그림으로 그려서 표현하면 사실 간단하게 나오는 건데, 단지 a>0, D<0 이런식으로 외우기 시작하면 아무런 연관성도 없고 논리적 근거도 없는 것이기 때문에 나중에 그게 쌓이다 보면 혼돈이 오기 시작합니다....ㅜㅠ

내가고등학교 다녔을떈 그냥 문제는 우리나라 같은 입시제도에선 많이푸는게장땡같음 ...

내가 고등학교다닐땐 원래 처음 교과시간 이해안됬던것도 문제풀면서 문제로 이해했는데 개념이나 정의흐름들도 전부

지금도 별반 다를 게 없어요. 교과과정에는 없지만 수능에는 출제된 완전순열이라든가, 정수론에서 나오는 몇 가지 문제들이랑 극한에서 나올만한 정리 몇개 추가적으로 배우게 하는 것 빼고는/ 문제 많이 푸는게 지금도 장땡. 시중에 나온 문제 다 풀어보게 하면 1등급 정도는 안나오기도 힘듬

솔직히 난 대학교 들어와서도 별반 차이못느끼겟던데 교수님 수업첨에할때 빛의속도로 휘갈겨쓰는거 그냥받아적고 도서관에 짱박혀서 하루종일공부하다보면 어 이거슨 ?!! 이게전부인거가틈 벡터공부할때 특히그랬고 극한 입실론델타랑 정수론 이세개할때 그랬음 특히벡터
필자 : 벡터를 도서관에서 공부하다가 어느날 엄청난 깨달음을 얻고 친구랑 밥먹으러 나왔는데 친구한테 " 야 너도 벡터지 ? " 라고 말했다능

원래 이해하려고 하지말고 공부하다보면 이해가되는게정답인듯 저같이 머리나쁜사람들한테는 ^ ㅎ _ㅎ

벡터는 벡터해석학 말하는것임? 다변수해석? "너도 벡터지?" 는 머임 ㅋ 그냥 수학에 거창하게 논리를 붙이시길래. 그냥 고등학교나 대학교 학부나 다 애들한테 가르치면 다 아는 것인데..

4u_HwaSin//전 대학교 들어와서는 교수님 수업하는거 받아적다가 포기하고(워낙 필기같은거 잘 못합니다)결국 또 독학으로 가고 있습니다.ㅋㅋㅋ

boman//고등학교 애들 거의 대부분이 몰라요ㅋㅋㅋㅋ아니 대부분 알려고도 하지 않는 게 많음. 진짜 고민을 깊게 하는 것 자체를 거부하는 경우가 많아서

다들 수학과심? 다들 뭐하고 계세요

제가 가르치는 애들도 문제 푸는데 5분 이상 고민도 잘 안함..

boman//그리고 지금 고등학교 책을 보면 초보적인 수준이긴하지만, 그건 위에서 내려다볼 때 그렇게 느끼는것뿐이고(저도 학부 해석학이나 정수론, 대수학, 확률론 등 보면 대체 왜 내가 그당시에 이걸 어려워했지?싶습니다. 당연한 현상) 고등학교때 배운 초보적인 논리수준이 분명히 대학들어와서도 쭉 도움이 되는건 사실입니다.

전 논문쓰다가 아이디어가 안나와서 지금 이러고있습니다ㅜㅠ

내 올챙이적 생각 못하듯이 교수님이 학부생들한테 "쉽지?" 라고 말하는 것을 나도 학생들한테 똑같이 말하는 듯 하긴함.. ㅋ

전 그냥 계리공부나 하고 있음. 취직은 해야되곘고 석박사는 해석쪽으로 나갈 생각도 없고 그렇다고 다른 것을 하자니 재미도 없고;

boman//고등학교때는 그렇게 쉽게 느껴지던 녀석이
대학교부터는 슬슬 머리가 아파오고
지금은 제 세부분야아니면 바보가 되어가는 느낌이 들고
일단 교수님들처럼 한분야 장인이 되기 전까진 누구한테 쉽다고 드립칠 수준이 못되는듯ㅋㅋㅋ

취직에는 계리가 좋은코스죠. 주변에서도 계리사따더니 다들 포풍취업;;

어디가서 수학과시니 수학 잘하시나봐요 하면 할 말이 없음. 괜히 뭐 질문했는데 모르면 쪽팔릴 것 같아서 ㅋ 해석 전공하세요? 하시는 분들 보면 해석쪽이 많아보임

없는 놈도 상품개발하고 계리 잘 가긴 하더라고요. 그래봤자 회사 들어가서 따야되니까;;

boman//해석이나 응용수학쪽이 아무래도 졸업하고 이쪽저쪽에 쓸 곳이 많죠ㅎㅎ자격증없이도 취업이 되긴 하는데 취업하고나서 다시 따려면 그것도 녹록치 않아보여요. 일단 있으면 취업시에 유리한건맞으니 겸사겸사 미리 따는게 좋은듯

아 실해석 처음에 들었을 떄는 컬쳐쇼크 였는데. 곧 학교 갈 준비나 해야겠네요 ㅜ 엑스피 보다보니 벌써 7시 ㅜ 논문 잘쓰세요 전 기대값이나 구하러 가야겠음 ㅎ

boman//해석쪽은 전 실해석보다 복소가 어렵더군요ㅋㅋㅋㅋ다들 복소는 오히려 쉽다는데 전 실해석은 고교과정 아이디어로 기반해서 어느정도 되는데 복소는 영ㅋㅋ계리 열심히하세요ㅋ

복소는 학교에서 쉬운 책으로 배워서 저도 뭐라 할말이.. ruel V.Churchill / complex variables and applications 는 학부수준으로도 꽤 쉽던데요. 석사과정 책은 ㅎㄷㄷ할듯

boman//석사과정 책이야 뭐...루딘느님의 Real and Complex Analysis 죠ㅋㅋㅋㅋ
첫시간에 교수님께서 번역을 해주시던데 "진짜로 복잡한 해석학"이라고ㅋㅋㅋ

Rudin ㅋㅋ 아나; 진짜 복잡한 해석학 맞는 말인듯 ㅎ 대학원 책은 루딘이구나. 그 책보면 정수론이 막 하고 싶어짐

boman//정수론도 깊이있게 들어가면ㅋㅋㅋㅋ정수론쪽은 사람들이 건드려놓은 분야가 워낙 이쪽저쪽 많아서 정수론 전공하는 사람들끼리도 서로 잘 모르더라구요ㅋㅋ

다들 깊이있게 들어가면 얄짤없어지는듯. 요즘이 중세시대도 아니고 수학만 해도 한 분야만 파도 대성하기 참 힘들어보임. primitive root까지가 딱 재밌었는데 그 이후로 괴상해지고 ㅋ 소시민은 그냥 통계나 끄적이며 먹고 살아야됨 ㅜ

boman//저도 소시민인데 소시민아닌척하면서 결국 군문제까지 맞물려서 여기까지 왔는데 잘하고있는짓인가 하는 의문이 마구마구 샘솟고 있네요ㅋㅋㅋ뭐 교수아니더라도 은행이나 증권사로 빠지는게 가능하긴하니까 그냥 이렇게 살아야겠음ㅜ지금와서 군대가자니ㅋㅋㅋㅋㅋ

군대는 이미 다녀온지라 ㅋ 공부만 하고 취업만 하면 되니 어쩌면 전 다행일지도; 계리라는게 적성에 좀 맞아서 다행이다 싶어요 진짜 이거 적성에 안 맞았으면 내가 뭘 했을지 ㅎ;; 논문 잘쓰시고요 씻고 출발합니다 ~

boman//넵 안그래도 지금 막 다행히도 얘기가 쭉쭉 나오는중ㅋㅋㅋㅋ계리화이팅요ㅋㅋ