| 작성자 | 사사하라 | ||
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| 작성일 | 2012-09-17 23:59:39 KST | 조회 | 1,671 |
| 제목 |
(취했음)배중률과 직관주의, 수학적 증명
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다들 해장하고 있을 때 혼자 취해서 난입
사실 취해서 쓰는거라 저도 뭔 말인지 모르고 집에 짱박아둔 하룻밤의 지식여행 23권 논리학에서 비슷한 내용 본 거 같아서 저도 함 다시 읽어봄
뭐라는지 모르겠지만...
비고전학파 논리학:직관주의
'고전파 논리학'이라고 불리는 기존 논리학에 대한 새로운 대안을 처음으로 제시한 논리학자는 L. E. J 브라우어(1881-1966)이다. 그는 수학을 논리학의 틀 속에 축소시키려 하는 프레게와 러셀의 생각에 반대했다. 브라우어는 수학은 어떤 기본적인 수학적 대상(수나 선과 같은)이 무엇인지에 대해 우리가 가지고 있는 기초적인 직관에 의존하고 있다고 생각했다. 이러한 그의 견해는 '직관주의'라고 알려지게 된다.
브라우어:난 수학적 증명은 논리적 증명과는 전적으로 다르게 작용한다는 사실을 보여주려고 노력했습니다. 특히 배중률과 같은 논리학 버빅이 수학에서는 통용되지 않는 경우가 있음을 증명했죠. 수학에서는 ㄱㄱp가 항상 p와 같은 것이 아닙니다.
악마들의 논쟁
브라우어는 무한 집합과 수열, 예컨대 모든 양수의 집합과 파이나 루트2와 같은 무리수로 이어진 수열을 집중적으로 다루었다. 브라우어의 주장은 다음과 같이 표현할 수 있다.
나는 파이와 같은 모든 무리수를 끝없이 연장하면 어느 시점에 가서는 반드시 666이라는 연속되는 숫자가 나타날 것이라는 사실을 논리적으로 증명할 수 있다. 그런 숫자가 없다고 말하는 것은 파이라는 숫자를 모두 다 동원해도 어딘가에 666이라고 연속되는 숫자가 나타날 수는 없다고 말하는 것과 같기 때문이다. 그러나 그것은 수학적으로는 결코 증명할 수 없다. 이 세상 모든 종이 위에 파이라는 숫자를 가득 채워 쓴다 할지라도 결코 확인하지 못한 많은 무한대의 숫자가 여전히 존재할 것이기 때문이다.
악마:그렇지만 파이라는 수를 무한히 나열해도 그 안에 666이라는 연속적인 숫자가 나타나지 않을 것이라는 주장이 참이 아니라면, 배중률에 따라 파이의 어딘가에 그 연속적인 숫자가 나타난다는 사실은 참이 되는데
브라우어:그런 악마적인 주장은 허락되지 않아요. 나는 배중률이 수학의 무한 집합과 수열에는 적용되지 않는다는 결론을 내렸습니다.
직관주의 논리
브라우어는 수학적 증명 방법의 일부는 논리학과는 전혀 다르게 작용한다는 사실을 증명해 보이기를 원했다. 하지만 그의 주장은 오히려 수학의 어떤 분야는 지금까지와는 전혀 다른 논리 체계에 따라 작용할 수 있음을 보여주는 계기가 된다. 그의 주장에서 실마리를 얻은 일부 학자들은 이러한 새로운 논리 체계를 개발하려고 나섰고, 그것이 사실상 모든 수학의 논리임을 증명해 보이려 노력했다. 이러한 부류의 논리학 분파를 '직관주의 논리'라고 한다.
브라우어:직관주의 논리의 핵심은 ㄱㄱp이 참인지 거짓인지를 검증할 수 있는 확실한 증명 방법이 없다면 ㄱㄱp=p라고 하는 배중률을 받아들일 수 없다는 것입니다. 다시 말해 직관주의 논리학자도 유한 집합에 대해서는 배중률을 받아들이고, 다만 무한 집합과 수열에 대해서만 배중률을 배제한다는 것입니다.
근데 밑의 댓글에서 이 이야기 다 나온건가
모르겠다
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디아3
