문제좀 같이 풀어주실분 ㅋㅋ; ( 화질수정 )

숨이 콱콱막히네요 ㅜ

 

 

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화질이 안좋으다셔서 일단 새로 찍긴했는데 이게 최대입니당 ㅠ

뇌가 굳어버렸다

과제는 스스로 합시다

수학인데 왜 숫자보다 영어가 많은거야

ㅠ

1번은 A^n=O(n>=2)면 A^2=O이기 때문에 S(몇인진 모르겠지만)(R)은 A^2=O인데 이러한 행렬은 역행렬을 가지지 않으니 빈 집합이겠네요

2 3은 이거만 알면 쉽게 풀 수 있을 것 같고

화질 극혐 보기너무힘듬

성질 P는 수학적귀납법을 이용해서 Z->R이면 지수함수임을 증명할 수 있으니 나머지도 위에 쓴 정질과 이걸 적절히 대입하면 푸실 수 있을 듯?

..네?

x=0 y=1 대입하면 f(1)=f(0)f(1)이고 f(0)=1. f(1)=a라 하면
f(n+1)=f(n)f(1)이니 수학적귀납법을 이용하면 f(n)=a^n(n>=0에 대해)
y=-x 대입하면 f(0)=f(x)f(-x)이니 f(-x)=1/f(x)이고 따라서 f(n)=a^n(정수 n에 대해)
제가 지금 나가야돼서 자리 앉을때까지 풀이 안 달리면 자세하게 써볼게요

급한건 아니니까 시간나시면 해주셔도되용..

참고로 전부 S_(2015) 입니당...

5 (1)은 f(1)=a>1이니 f(n)=a^n은 증가함수이고
(2)는 T_2(Z)는 모든 원소가 정수인 역행렬이 없는 이차정사각행렬 즉 a11a22-a12a21!=0 다시말하면 a11a22!=a12a21인 행렬이고 g(T_2(Z))의 원소는 T_2(Z)의 원소 (a11 a12 a21 a22)에 대해
(a^(a11a22) a^a12a21 a a)
이리 생긴 행렬이니 D = a^(a11a22+1)-a^(a12a21+1)인데 a11a22!=a12a21이고 a>1인 실수이니 D는 당연히 0이 아님. 즉 g(T_2(Z))의 원소들도 역행렬이 존재하고 a가 양의 실수이니 모든 원소들이 실수. 즉 T_2(R)에 속하겠지요

최소 고등학교 2학년이상문제

f(n+1)=f(n)f(1)이니 수학적귀납법을 이용하면 f(n)=a^n(n>=0에 대해)
y=-x 대입하면 f(0)=f(x)f(-x)이니 f(-x)=1/f(x)이고 따라서 f(n)=a^n(정수 n에 대해)

여기서 f(n) = a^(n) 이 어떻게 되는건가요?
f(n+1) = f(n) * a 에서 어떻게...

일단 화질 어케좀....
딱보니 수리논술 문제네요.
수리논술을 많이 풀어봤지만.... 그 극혐 문제를 또 풀긴 싫으니 패스..ㅈㅅ

f가 Z->R이고 n=0일때 f(0)=1=a^0이고 n>0일때 n은 자연수니 f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=a^2 f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=a^3 이런 식으로 갈 수 있겠지요

오 그렇군요

화질up!

(2)는 T_2(Z)는 모든 원소가 정수인 역행렬이 없는 이차정사각행렬

역행렬이 있다는걸 잘못쓰신게 맞나요? 아리까리해서...

화질up인데도 눈아픔 ㅇㅏㄴㄱㅕㅇㅇㅡㄹㅇㅆㅅㄱㄺ...

1번 공집합
ㄴ A^2015 = O 해놓고 양쪾에 A^-1 계속 곱해주면 A = O 나와서 모순 (O 은 역행렬을 가지지 않음)
2번 0
ㄴ 만약 a_11 + a_22 != 0 일경우 (det(A) = 0 : 1번에서 증명)
케일리 해밀턴 정리를 쓰면 A^2 - (a_11 + a_22)A = O -> A^2015 - (a_11 + a_22)A^2014 = O
-> A^2014 = O -> A^2014 - (a_11 + a_22)A^2013 = O -> A^2013 = O -> ... -> A = O 모순
즉 a_11 + a_22 = 0
3번 a_11 + a_22 = 0 이므로 케일리 해밀턴 정리에서 A^2 = O 즉, A^3 = O 이고 조건은 A = O 이 되므로
G = {O} 이다.
4번 2번에서 a 와 d의 관계는 d = -a 이고 이를 적용해보면 f^n(x)는 ((-1)^n) * x 가 된다. 즉, 극한값은 0
5번 지수함수를 생각해보면 끝날듯, (1)은 인덕션 (2)도 그냥 계산인듯

1번에 A = ( 0 1 # 0 0 ) 같은거 나오면 역행렬 자체가 없는데 A^-1을 어떻게 곱해주나요?

그러니까 말하신것처럼 det(A)= 0인데 A^-1이 존재할리가 없는데 A^-1을 곱하는 개념을 어떻게 이야기하죠
;ㅁ;

T^2(R) 에서 역행렬이 존재한다고 가정됨

C-H 정리를 쓰지않으면 어떻게 설명해야할까요? 고등학교 수리논술에서 고유벡터를 쓰면 안되서...

1번 설명은
A^2015 = O 인데 A = O 이되는데 영행렬은 역행렬이 존재 하지 않으니까
A^2015 = O 이면서 역행렬이 존재하는 행렬 A에 대한 집합 S_2015(R) ∩ T_2(R) 은 존재 하지 않으므로 공집합이된다 이 말씀이시죠?

ㅇㅇ
그냥 케일리 해밀턴 정리 증명을 하는게 빠를듯

det(A-λI) != 0 을 증명하는게 확실히 빨라보이긴한데 아무래도 대학 입시 논술에 적기엔 영...

오타인듯
근데 어차피 투바이투라 케일리해밀턴 걍 써도 되지 않나요

0=det(A^2015)=det(A)^2015니까 0이요

고교 수리논술이니까 쓰면 안되냐 하려하다가 본문보니 detAB=detAdetB를 줬네

이거 고등학교꺼 아니지 않나요?? 대학과정 아니예요??

기호만 대학교 비스무리하게 써서 그렇지 고등학교 과정으로 열심히 풀면 풀수 있는것 같아요ㅋㅋ